Частотная область.

Преобразования Фурье в одномерном случае - одномерный интеграл.

В двумерном - в показателе экспоненты появляется xu+yv:

F(u, v) = ∫ f(x,y) e ^-2πi(xu+yv) dxdy

freq area

F(u,v) - полный спектр.

F(u,v)

- спектр. (Если первое назвать спектром, то второе - амплитудный спектр) (модуль - комплексный)

Свойства спектра

Сдвиг.
Дистрибутивность и изменение масштаба. F(af + bg) = aF(f)+bF(g)
Период F(u + M, v + N) = F(u, v)
F(u, v) = F_y(F_x(f)) = F_x(F_y(f))
f над R,

F = W_M * f. Сложность вычисления O(M²) Если изображение квадратное MxM, то O(M²M + MM²) = O(M³) , где M - размер изображения по одной стороне.

Придумали делать не за M², а за MlogM, потому что W_m не произвольная матрица, а определенная, потому что Ω_M - степени одного комплексного числа.

Тут немножко конволюции, как мы считали на алгоритмах, пользуясь разделением чётных и нечётных корней.

convolution_system

Обработка изображений в частотной области

В некоторых случаях в частотной области решить проще, а иногда есть случаи, когда в пространственной области не решается, а в частотной всё нормально.

Фильтрация в частотной области - умножение двух одинаковых по размерам спектров. Freq filter

Если f имеет спектр F, а h -> H (f, h - изображения одинакового размера), то g=f * h <=> G = F * H

Фильтры низкой частоты

Идеальный ФНЧ
1. В частотной области: H(u,v)={1, если D(u,v)< D₀; 0, иначе}
2. А в пространственной области - функция как нормальная, но с волнами - и вообще неудобно.
Фильтры Баттерворта (БФНЧ) Семейство фильтров разной степени гладкости, в зависимости от n. Точка 0.5 - неподвижная. Волн только одна-две на каждой ветви.
Фильтр Гаусса Низких частот (ГФНЧ) Он уже выглядит как настоящая нормальная функция. В этом смысле он лучше всех предыдущих. Её обратная функция (h) имеет качественно такой же вид. Поэтому паразитных волн при свёртке не имеет. Можно взять в качестве σ= D₀ Отдельно про Гаусса: